Construcciones con Regla y Compás (III): Los Polígonos Regulares

Introducción

En esta serie dedicada a las construcciones con regla y compás, este artículo aborda su relación con los polígonos regulares.

La pregunta clave es: ¿Todos los polígonos regulares se pueden construir con regla y compás siguiendo las reglas establecidas? A continuación, veremos la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos O e Y:

Polígono Regular de 3 Lados: Triángulo Equilátero

El triángulo equilátero, el polígono regular con menor número de lados, se construye de forma sencilla:

  1. Trazamos una circunferencia con centro en O y radio OY.
  2. Trazamos otra circunferencia con centro en Y y el mismo radio OY.
  3. Estas circunferencias se cortan en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos A.
  4. Trazando los segmentos OA y YA, obtenemos el triángulo equilátero OAY.

Polígono Regular de 4 Lados: Cuadrado

La construcción del cuadrado también es simple:

  1. Trazamos una circunferencia con centro en O y radio OY.
  2. Esta circunferencia corta al eje X en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos A.
  3. Trazamos la recta paralela al eje Y que pasa por A y la recta paralela al eje X que pasa por Y.
  4. El punto de corte de estas rectas, digamos B, es el vértice que nos faltaba.
  5. Trazando los segmentos OA, AB e YB, obtenemos nuestro cuadrado.

Polígono Regular de 5 Lados: Pentágono Regular

La construcción del pentágono es más compleja, pero accesible:

  1. Trazamos la paralela al eje X que pasa por Y, digamos recta r.
  2. Trazamos la mediatriz del segmento OY, obteniendo el punto M como corte con el eje X.
  3. Trazamos la circunferencia con centro M y radio MY, digamos C1. Obtenemos el punto N como corte de C1 con la recta X.
  4. Con centro en O, trazamos la circunferencia de radio ON, C2, obteniendo el punto P de corte con el eje X.
  5. Trazamos la circunferencia con centro Y y radio YP, C3. Obtenemos el punto A al cortar C3 con C1 y el punto B como corte con la mediatriz del segmento OY.
  6. Para obtener el vértice C, construimos el punto simétrico a A respecto de la mediatriz del segmento OY.
  7. Uniendo los vértices, obtenemos el pentágono regular.

Polígono Regular de 6 Lados: Hexágono Regular

La construcción del hexágono regular es sencilla:

  1. Con radio OY, trazamos circunferencias con centro O e Y.
  2. Tomamos uno de los puntos de corte, digamos C. Este es el centro del hexágono.
  3. Trazamos la circunferencia con centro C y radio OY. Obtenemos los puntos A y B como cortes con las circunferencias anteriores y D como corte con el eje X.
  4. Trazando la paralela al eje X que pasa por Y, obtenemos el vértice E como corte de esta recta y la circunferencia trazada antes.
  5. Uniendo los vértices, obtenemos el hexágono regular.

Polígono Regular de 7 Lados: Heptágono Regular

El heptágono regular no es construible con regla y compás. Utilizando números complejos, para construir un polígono regular de n lados, debe ser construible el número complejo e^(2πi/n). Para el heptágono, debería ser construible e^(2πi/7). El polinomio x^7 – 1 tiene a e^(2πi/7) como raíz. Su descomposición en polinomios irreducibles es (x – 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1). Como e^(2πi/7) no es raíz de (x – 1), debe serlo del otro factor, cuyo grado es 6. Para que un punto sea construible, el grado de su polinomio mínimo irreducible debe ser una potencia de 2. Por tanto, no podemos construir e^(2πi/7) ni el heptágono regular.

Teorema de Gauss-Wantzel

Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás)

Un polígono regular de n lados es construible con regla y compás si y solo si la descomposición en factores primos de n es de la forma n = 2^k * p1 * p2 * … * pr, donde k es un entero no negativo y pi son primos de Fermat distintos entre sí (un primo de Fermat es de la forma 2^(2^m) + 1).

Gauss probó una implicación y Pierre Wantzel la otra.

El Heptadecágono y Otros Polígonos

La construcción del heptadecágono (17 lados) fue demostrada por Gauss a los 19 años. La primera construcción física se atribuye a Johannes Erchinger. Gauss pidió que se grabara un heptadecágono en su tumba.

El polígono de 65537 lados (el cuarto primo de Fermat) fue construido por Johann Hermes en 1894, tras 10 años de trabajo.

Elementos de Unión

Tornillos

Los tornillos unen dos piezas. Se dividen en cabeza y cuerpo (espiga o vástago).

Tipos de Cabeza

Existen cabezas hexagonales, cuadradas, cilíndricas, avellanadas, etc.

Espigas

La espiga es la parte roscada del tornillo.

Espárragos

Varilla roscada por ambos extremos.

Acotación

La norma UNE 17 050-78 define la acotación.

Tuercas

Aprietan el tornillo. Hay hexagonales, cuadradas, moleteadas, etc.

Arandelas

Aumentan la superficie de apoyo. Hay planas, cóncavas, dentadas, etc.

Brocas

Las brocas son herramientas de acero para taladrar. Tienen mango, cuerpo y punta.

Refrigeración y Lubricación

Es importante refrigerar y lubricar al taladrar.

Defectos

Filos desiguales o mal afilados causan problemas.