Propiedades Fundamentales de las Aplicaciones y Conjuntos

1. Propiedades de la Imagen y la Imagen Inversa

Sean f: A → B una aplicación, X1, X2 ⊆ A e Y1, Y2 ⊆ B. Se cumplen las siguientes propiedades:

  • 1. Si X1 ⊆ X2 ⊆ A, entonces f(X1) ⊆ f(X2).
  • 2. Si X1, X2 ⊆ A, entonces f(X1 ∪ X2) = f(X1) ∪ f(X2).
  • 3. Si X1, X2 ⊆ A, entonces f(X1 ∩ X2) ⊆ f(X1) ∩ f(X2).
  • 4. Si Y1 ⊆ Y2 ⊆ B, entonces f-1(Y1) ⊆ f-1(Y2).
  • 5. Si Y1, Y2 ⊆ B, entonces f-1(Y1 ∪ Y2) = f-1(Y1) ∪ f-1(Y2).
  • 6. Si Y1, Y2 ⊆ B, entonces f-1(Y1 ∩ Y2) = f-1(Y1) ∩ f-1(Y2).

Demostraciones de las Propiedades de Aplicaciones

1. Si b ∈ f(X1), existe x ∈ X1 tal que b = f(x). Como también x ∈ X2 (pues X1 ⊆ X2), se tiene que b = f(x) ∈ f(X2).

2. Por el punto 1, como X1, X2 ⊆ X1 ∪ X2, se tiene que f(X1), f(X2) ⊆ f(X1 ∪ X2), luego f(X1) ∪ f(X2) ⊆ f(X1 ∪ X2). Recíprocamente, si b ∈ f(X1 ∪ X2), b = f(x) para algún x ∈ X1 ∪ X2; si x ∈ X1 entonces b ∈ f(X1) y si x ∈ X2 entonces b ∈ f(X2), por lo que b ∈ f(X1) ∪ f(X2).

3. Si b ∈ f(X1 ∩ X2), existe x ∈ X1 ∩ X2 tal que b = f(x); como x ∈ X1 entonces b ∈ f(X1) y como x ∈ X2 entonces b ∈ f(X2), por lo que b ∈ f(X1) ∩ f(X2), luego f(X1 ∩ X2) ⊆ f(X1) ∩ f(X2).

4. Si a ∈ f-1(Y1) se tiene que f(a) ∈ Y1; pero, como Y1 ⊆ Y2, también se tiene que f(a) ∈ Y2, luego a ∈ f-1(Y2) y, por tanto, f-1(Y1) ⊆ f-1(Y2).

5. a ∈ f-1(Y1 ∪ Y2) ⇔ f(a) ∈ Y1 ∪ Y2 ⇔ f(a) ∈ Y1 o f(a) ∈ Y2 ⇔ a ∈ f-1(Y1) o a ∈ f-1(Y2) ⇔ a ∈ f-1(Y1) ∪ f-1(Y2).

6. a ∈ f-1(Y1 ∩ Y2) ⇔ f(a) ∈ Y1 ∩ Y2 ⇔ f(a) ∈ Y1 y f(a) ∈ Y2 ⇔ a ∈ f-1(Y1) y a ∈ f-1(Y2) ⇔ a ∈ f-1(Y1) ∩ f-1(Y2).

2. Relación entre Conjuntos y sus Imágenes

  • 1. Si X ⊆ A, entonces X ⊆ f-1(f(X)).
  • 2. Si Y ⊆ B, entonces f(f-1(Y)) ⊆ Y.

Demostración 1: Si x ∈ X se tiene que f(x) ∈ f(X) y, por tanto, x ∈ f-1(f(X)), por lo que X ⊆ f-1(f(X)).

Demostración 2: Si b ∈ f(f-1(Y)), existirá x ∈ f-1(Y) tal que b = f(x); pero si x ∈ f-1(Y), entonces b = f(x) ∈ Y; por lo que f(f-1(Y)) ⊆ Y.

3. Composición de Aplicaciones e Identidad

  • 1. f ∁ IdA = f.
  • 2. IdB ∁ f = f.
  • 3. h ∁ (g ∁ f) = (h ∁ g) ∁ f (Asociatividad).

Demostración 1: Para cualquier a ∈ A se tiene que (f ∁ IdA)(a) = f(IdA(a)) = f(a); por lo que f ∁ IdA = f.

Demostración 2: Para cualquier a ∈ A se tiene que (IdB ∁ f)(a) = IdB(f(a)) = f(a); por lo que IdB ∁ f = f.

Demostración 3: Para cualquier a ∈ A se tiene que (h ∁ (g ∁ f))(a) = h((g ∁ f)(a)) = h(g(f(a))) = (h ∁ g)(f(a)) = ((h ∁ g) ∁ f)(a), por lo que h ∁ (g ∁ f) = (h ∁ g) ∁ f.

4. Inyectividad y Suprayectividad en la Composición

Si f y g son inyectivas, entonces g ∁ f es inyectiva.

Dados a, a’ ∈ A con a ≠ a’, por ser f inyectiva, se tiene que f(a) ≠ f(a’) y, por ser g inyectiva, g(f(a)) ≠ g(f(a’)); por lo que (g ∁ f)(a) = g(f(a)) ≠ g(f(a’)) = (g ∁ f)(a’) y g ∁ f es inyectiva.

Si f y g son suprayectivas, entonces g ∁ f es suprayectiva.

Para cada elemento c ∈ C, por ser g suprayectiva, existirá b ∈ B tal que c = g(b) y, por ser f suprayectiva, dado este elemento b existirá a ∈ A tal que b = f(a); por lo que (g ∁ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c y, por tanto, g ∁ f es suprayectiva.

5. Aplicaciones Biyectivas e Inversas

Proposición 2.25: Sea f: A → B una aplicación. Si f es una aplicación biyectiva, entonces f-1 ∁ f = IdA y f ∁ f-1 = IdB. Si existe una aplicación g: B → A tal que g ∁ f = IdA y f ∁ g = IdB, entonces f es biyectiva y g = f-1.

Demostración: Si f es biyectiva y f-1 es su inversa, para cada b ∈ B se tiene que f-1(b) = a ∈ A ⇔ f(a) = b. Así, (f ∁ f-1)(b) = f(f-1(b)) = f(a) = b, luego f ∁ f-1 = IdB. Análogamente, (f-1 ∁ f)(a) = f-1(f(a)) = a, por lo que f-1 ∁ f = IdA. Si existe g tal que g ∁ f = IdA (inyectiva) y f ∁ g = IdB (suprayectiva), entonces f es biyectiva y g = f-1.

Corolario 2.26: Si f: A → B y g: B → C son aplicaciones biyectivas, entonces (g ∁ f)-1 = f-1 ∁ g-1.

Teoría de Conjuntos e Infinitud

1. Caracterización de Conjuntos Infinitos

Las siguientes condiciones son equivalentes para un conjunto A:

  • 1) A es infinito.
  • 2) Existe una aplicación inyectiva f: A → A no suprayectiva.
  • 3) Existe una aplicación suprayectiva g: A → A no inyectiva.
  • 4) Existe una aplicación inyectiva f: ℕ → A.

Demostración (4 ⇒ 1): A contiene a f(ℕ), que es un conjunto infinito por ser biyectivo a ℕ. Por tanto, A es infinito.

Demostración (A subconjunto de B): Si A ⊆ B y A es infinito, entonces B es infinito. Como A es infinito, existe f: ℕ → A inyectiva. Sea ι: A → B la inclusión (inyectiva). La composición ι ∁ f: ℕ → B es inyectiva, por lo tanto, B es infinito.

2. Conjuntos Finitos y Biyecciones

Todo conjunto finito A está en biyección con un conjunto In para algún n ∈ ℕ.

Si suponemos que A no está en biyección con ningún In, podemos construir inductivamente una aplicación inyectiva de ℕ en A, lo cual contradice la finitud de A.

Relaciones de Equivalencia y Particiones

Si A es un conjunto no vacío y ∼ una relación de equivalencia en A, para cualesquiera a, b ∈ A son equivalentes:

  1. [a] ∩ [b] ≠ ∅
  2. a ∼ b
  3. [a] = [b]

Teorema de Partición:

  • 1. Toda relación de equivalencia ∼ en A induce una partición A/∼.
  • 2. Toda partición P = {Aα} induce una relación de equivalencia ∼P definida como: a ∼P b si y solo si existe Aα tal que a, b ∈ Aα.

Fundamentos de Teoría de Números

1. Máximo Común Divisor (MCD) y Algoritmo de Euclides

Sean a, b ∈ ℤ. Existe el máximo común divisor d = mcd(a, b) y se puede expresar como d = ra + sb para algunos r, s ∈ ℤ (Identidad de Bézout).

Propiedades del MCD:

  • Si d = mcd(a, b), entonces a/d y b/d son primos entre sí.
  • Lema de Euclides: Si a y b son coprimos y a | bc, entonces a | c.
  • Si a y b son primos entre sí, a | c y b | c, entonces ab | c.

2. Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Proposición 6.16: Si a | c y b | c, entonces mcm(a, b) | c.

Relación fundamental: mcm(a, b) · mcd(a, b) = |ab|.

3. Números Primos

Teorema 6.25: Existen infinitos números primos.

Demostración: Supongamos un número finito p1, …, pn. El número a = (p1 · p2 · … · pn) + 1 no es divisible por ningún pi, lo que genera una contradicción.

4. Aritmética Modular

Propiedad de la Congruencia: Si ac ≡ bc (mod n) y d = mcd(c, n), entonces a ≡ b (mod n/d).

Ecuaciones Lineales de Congruencia: Si mcd(a, n) = 1, la ecuación ax ≡ b (mod n) tiene una única solución módulo n.

Función de Euler: Si p es primo, entonces φ(p) = p – 1, ya que todos los elementos en ℤp (excepto el cero) son inversibles.