Propiedades Espaciales: Métrica, Proyectiva y Topológica

  • Métrica: Si interesan las propiedades ligadas a la proporcionalidad e igualdad entre distancias (propiedades métricas), ligadas a la forma de los objetos. Si un estudiante conoce propiedades métricas, puede argumentar que un rectángulo es distinto de un trapecio basándose en los ángulos, en las longitudes de los lados y en el paralelismo.
  • Proyectiva: Si interesan las propiedades que están en relación con el reconocimiento de los objetos desde diferentes puntos de vista: están delante o detrás, encima-debajo, izquierda-derecha, entre, al lado, enfrente, etc. (propiedades proyectivas). No tienen relación con la medida, sí con la incidencia entre partes. Un estudiante que aún no ha aprendido estas propiedades no sabe que al mirar un lápiz desde un extremo se ve un círculo.
  • Topológica: Si interesan propiedades globales de los objetos, independientemente de la forma y el tamaño (propiedades topológicas): cantidad de partes y cierta posición relativa entre ellas, si es abierta o cerrada (en cuyo caso se puede distinguir una parte exterior, una interior y una frontera), si tiene o no agujeros, etc. Un estudiante que tiene adquiridas las propiedades topológicas distingue: la cantidad de partes que componen una figura, la posición relativa entre ellas, cuál es el exterior y el interior, cuál es la frontera y si tiene o no agujeros.

Propiedades Topológicas en el Dibujo

  • Cercanía: Dibuja los ojos de un hombre juntos.
  • Separación: No sobrepone la cabeza y el cuerpo.
  • Ordenación: Dibuja la nariz entre los ojos y la boca.
  • Cerramiento: Dibuja los ojos dentro de la cabeza.
  • Continuidad: Dibuja los brazos de forma continua con el cuerpo y no con la cabeza.

Clasificación de las Magnitudes

Extensivas e Intensivas

  • Extensivas: Aquellas en las que la cantidad de magnitud de un objeto compuesto de partes se obtiene agregando las cantidades de cada parte. Son sumables y están ligadas al tamaño (ej. volumen con policubos).
  • Intensivas: Su valor permanece inalterable al subdividir el objeto en trozos. No son propiedades aditivas.

Discretas y Continuas

  • Discretas: Si para alguna unidad de medida todas sus cantidades se pueden expresar mediante un número natural (ej. cantidad de personas o libros).
  • Continuas: Si fijada una unidad de medida, existen cantidades que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Para cuantificar se necesitan los números reales (decimales).

Fundamentales y Derivadas

  • Fundamentales: Las que por convenio se ha considerado que no dependen de otras (masa, longitud, temperatura, tiempo, intensidad luminosa, cantidad de sustancia, intensidad de corriente).
  • Derivadas: Se expresan en función de magnitudes fundamentales (ej. superficie, volumen, velocidad o densidad).

Escalares y Vectoriales

  • Escalares: Cualquier cantidad queda determinada por un número y la unidad de medida (masa, longitud, temperatura, tiempo).
  • Vectoriales: Se necesita un vector (módulo, dirección y sentido) y la unidad de medida (peso, fuerza, velocidad, aceleración).

Principios de Medida y Comparación

  • Cantidad de magnitud: Es la cualidad común que tienen todos los objetos que se pueden considerar equivalentes, relacionados por el criterio “tanto… como”.
  • Comparación directa: Se basa en la percepción visual directa o en la superposición de las cantidades. No es aplicable a todas las situaciones (ej. comparar el peso de un elefante con el de una horca).
  • Comparación indirecta: Se basa en la utilización de un elemento intermediario. Es fundamental para el proceso de medida.
  • Principio de conservación: La cantidad de magnitud no cambia cuando se modifica el objeto mediante ciertas transformaciones.
  • Principio de transitividad: Si un objeto es menor o igual que un segundo, y este menor o igual que un tercero, entonces el primero es menor o igual que el tercero.
  • Principio de adición: En las magnitudes extensivas, la cantidad de magnitud de un objeto se mantiene mediante la fragmentación del objeto en partes y su posterior reordenación y suma.

Conceptos de Cuantificación y Número

  • Número natural: Propiedad en común que poseen todos los conjuntos finitos que tienen el mismo cardinal.
  • Cuantificación: Expresión numérica de las cantidades de una magnitud. Para magnitudes discretas responde a ¿cuántos hay?; para continuas, a ¿cuánto mide?.
  • Ordenación: Describe la posición relativa de un objeto en un conjunto ordenado (¿qué lugar ocupa?).
  • Código: Uso de los símbolos numéricos como etiquetas, sin interés en sus cualidades aritméticas.