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Fundamentos y Modelos de Pronóstico en Series de Tiempo
Definición de Serie de Tiempo
Una serie de tiempo es una secuencia ordenada de valores de una variable en intervalos de tiempo periódicos y consecutivos.
Aplicaciones y Propósitos
La aplicación de estos métodos tiene dos propósitos principales:
- Comprender las fuerzas de influencia en los datos.
- Descubrir la estructura que produjo los datos observados.
El objetivo final es ajustar el modelo y proceder a realizar pronósticos, monitoreo, retroalimentación y control avanzado.
Las aplicaciones comunes incluyen: pronósticos económicos, análisis de presupuesto, análisis del mercado, entre otros.
Componentes Clave de las Series de Tiempo
Tendencias
Si los datos muestran una tendencia, se pueden ajustar mediante algún tipo de curva o recta y modelar los residuales. Dado que el propósito del ajuste es simplemente remover la tendencia a largo plazo, una línea recta es frecuentemente suficiente.
Estacionalidad
La estacionalidad se refiere a fluctuaciones periódicas. Por ejemplo, cuando hay picos de ventas en Navidad y luego declinan. La serie de tiempo de ventas mostrará un incremento durante septiembre a diciembre y una declinación durante enero y febrero.
Para detectar la estacionalidad se pueden utilizar diferentes métodos gráficos donde se observe la periodicidad en el tiempo:
- Gráfica de valores contra el tiempo.
- Diagramas de caja múltiples.
- Gráfica de estacionalidad por subserie.
Medidas de Exactitud del Pronóstico
MAPE (Porcentaje Promedio Absoluto de Error)
Mide la exactitud de los valores estimados de la serie de tiempo. La exactitud se expresa como un porcentaje, donde:
es el valor observado,
es el valor estimado y n es el número de observaciones.
MAD (Desviación Media Absoluta)
Mide la exactitud de los valores estimados de la serie de tiempo. Expresa la exactitud en las mismas unidades de los datos.
MSD (Desviación Cuadrática Media)
Es más sensible a errores anormales de pronóstico que el MAD.
Métodos de Pronóstico y Modelado
Métodos de Pronóstico y Suavizamiento Simple
Se basan en la idea de que hay patrones visibles en una gráfica de series de tiempo que pueden ser extrapolados al futuro. El método se selecciona dependiendo de si los patrones son estáticos (constantes en el tiempo) o dinámicos (cambian en el tiempo), la naturaleza de los componentes de tendencia y estacionalidad, y qué tan lejos se quiera pronosticar. Son métodos generalmente fáciles y rápidos de aplicar.
Métodos de Pronóstico ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)
También usan patrones de datos, sin embargo, puede que no sean fácilmente visibles en la serie de tiempo. El modelo utiliza funciones de diferencias, autocorrelación y autocorrelación parcial para ayudar a identificar un modelo aceptable. El modelo ARIMA representa una serie de pasos de filtraje hasta que solo queda ruido aleatorio. Es un proceso iterativo que consume tiempo de ejecución.
Modelos Específicos de Tendencia
- Lineal: $b_1$ representa el cambio promedio de un periodo a otro.
- Cuadrático: Toma en cuenta la curvatura simple en los datos.
- Crecimiento Exponencial: Toma en cuenta el crecimiento o decaimiento exponencial. Por ejemplo, el comportamiento de una cuenta de ahorros.
- Curva S de Pearl-Reed: Toma en cuenta las observaciones que se ajustan a una curva con forma de S.
4.3 Método de Descomposición
Se usa para pronosticar cuando hay un componente de estacionalidad en la serie de tiempo o si se quiere analizar la naturaleza de los componentes. Separa las series de tiempo en componentes de tendencia lineal y estacionalidad, así como el error.
Modelo de Ajuste por Descomposición
La descomposición tiene dos pasos:
- Estimar los índices de estacionalidad usando el método de promedios móviles.
- Ajustar la serie en estacionalidad.
- Estimar la tendencia en la serie ajustada por regresión.
Modelos de Pronóstico por Descomposición
La descomposición calcula el pronóstico como la línea de regresión multiplicada por (método multiplicativo) o agregada a (método aditivo) los índices de estacionalidad.
Promedio Móvil
Suaviza los datos al promediar observaciones consecutivas en la serie de tiempo. Este método es adecuado cuando no hay componente de tendencia ni estacionalidad; sin embargo, hay alternativas si se presentan estos patrones.
Métodos de Suavización Exponencial
Los métodos de suavizamiento exponencial han sido utilizados con éxito a través de los años en muchos problemas de pronóstico. Fueron sugeridos en 1957 por C. C. Holt para su aplicación en series de tiempo sin tendencia ni estacionalidad. Posteriormente, él mismo ofreció un procedimiento que manejara tendencias. Después, Winters en 1965 generalizó el método para incluir estacionalidad, de ahí el nombre de “Método de Holt-Winters”.
4.5 Suavizamiento Exponencial Simple (Holt)
Se aplica solo si se tiene un comportamiento de la serie de tiempo sin tendencia o estacionalidad.
Mecanismo del Suavizamiento Exponencial Simple
Los valores suavizados (estimados) se obtienen ya sea con un peso óptimo generado o con un peso específico manual.
4.6 Suavizamiento Exponencial Doble (Holt)
Se aplica cuando en la serie de tiempo se presenta una tendencia ascendente o descendente, pero sin estacionalidad.
Mecanismo del Suavizamiento Exponencial Doble
El suavizamiento exponencial doble emplea un componente de nivel y un componente de tendencia en cada uno de los periodos. Usa dos pesos, o parámetros de suavización, y actualiza los componentes cada periodo.
4.7 Método de Winters (Holt-Winters)
Se aplica cuando en la serie de tiempo se presentan los patrones de tendencia y estacionalidad.
Se recomienda este método cuando se tienen presentes los componentes de tendencia y estacionalidad, ya sea en forma aditiva o multiplicativa.
Efectos Multiplicativos vs. Aditivos
- El efecto multiplicativo se presenta cuando el patrón estacional en los datos depende del tamaño de los datos (la magnitud del patrón estacional se incrementa conforme los valores aumentan y decrece cuando los valores de los datos disminuyen).
- El efecto aditivo es mejor cuando el patrón estacional en los datos no depende del valor de los datos (el patrón estacional no cambia conforme la serie se incrementa o disminuye de valor).
El método de Winters calcula los estimados de tres componentes: nivel, tendencia y estacionalidad. Calcula estimados dinámicos con ecuaciones para los tres componentes. Estas ecuaciones dan una mayor ponderación a observaciones recientes y menor peso a observaciones pasadas; las ponderaciones decrecen geométricamente a una tasa constante.
Análisis de Correlación y Modelado ARIMA
El análisis de correlación, análisis de diferencias, autocorrelación y autocorrelación parcial son utilizados para identificar un modelo adecuado de ARIMA.
4.8 Diferencias y Atrasos (Lags)
- Las diferencias se calculan entre los valores de los datos de la serie de tiempo y sirven para identificar patrones de tendencia y estacionalidad.
- Los atrasos (lags) son valores anteriores con los que se determina el siguiente valor pronosticado.
Autocorrelación (ACF)
Es la correlación entre observaciones de una serie de tiempo separadas por $k$ unidades de tiempo. Su gráfica se denomina Función de Autocorrelación (ACF). Su estudio permite seleccionar los términos a ser incluidos en el modelo ARIMA.
4.9 Autocorrelación Parcial (PACF)
Es la correlación entre conjuntos de pares ordenados de una serie de tiempo, y mide la fuerza de la relación tomando en cuenta otros términos. La autocorrelación parcial en una posición $k$ es la correlación entre residuos en tiempo $t$ de un modelo autorregresivo y las observaciones en la posición $k$ con términos para todas las posiciones que intervienen en el modelo autorregresivo. Su gráfica se denomina Función de Autocorrelación Parcial (PACF). Su estudio permite seleccionar los términos a ser incluidos en el modelo ARIMA.
Correlación Cruzada
Es la correlación entre dos series de tiempo.
El Método ARIMA (Box-Jenkins)
Ajusta el modelo ARIMA de Box-Jenkins a una serie de tiempo. Representa pasos de filtraje hasta que solo haya ruido aleatorio. Se usa para generar pronósticos.